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通用模型解题初中数学有哪几个模型？
数学建模是使用数学模型解决实际问题。
对数学的要求其实不高。
我上大一的时候，连高等数学都没学就去参赛，就能得奖。
可见数学是必需的，但最重要的是文字表达能力
回答者：抉择415 - 童生 一级 3-13 14:48
数学模型
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
数学建模
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法：
机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。
将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下：
1、 实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数；
2、 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；
3、 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型；
4、 符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。
数学模型的分类：
1、 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等。
2、 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
数学建模需要丰富的数学知识，涉及到高等数学，离散数学，线性代数，概率统计,复变函数等等 基本的数学知识
同时，还要有广泛的兴趣，较强的逻辑思维能力，以及语言表达能力等等
一般大学进行数学建模式从大二下学期开始，一般在九月份开始竞赛，一般三天时间，三到四人一组，合作完成！！！
数学建模做题技巧
一． 数学的重要性：
学了这么多年的书，感觉最有用的就是数学课了，相信还是有很多人和我一样的想法的
。 大家回想一下：有什么课自始至终都用到？我想了一下只有数学了，当然还有英语。
特别到了大学，学信号处理和通信方面的课时，更是感到了数学课的重要性。计算机：
数据结构，编程算法....哪个不需要数学知识和思想。有这样的说法，数学系的人学计
算机才是最牛的。信号与系统：这个变换那个变换的。通信：此编码彼编码的。数字图
像与模式识别：这个概率论和数理统计到处都是。线性代数和矩阵论也是经常出现。
二． 数学的学习方法：
最重要的是遇到问题首先不畏惧，然后知道类似的问题别人是如何处理，我们是否可以
借鉴，然后再比较我们的问题和已有的问题有何异同，已有的方法有什么不足，我们应
从哪里着手考虑新方法。思考路线比具体推导更重要。数学并非说得越玄乎越显水平。
真正的理解在于抓住实质，"如果你还觉得某个东西很难、很繁、很难记住，说明你还沉
迷于细节，没有抓住实质，抓住了实质，一切都是简单的。"这是概率之父Kolmogorov的
名言。我们平时在学习数学时，也时刻问自己，能不能向一个外行讲清楚这是怎么回事
，如果不能，说明我们自己还没有真正理解。数学推导的功夫应该是在课下通过大量的
练习得到的，在课下花的时间要远大于课上的时间。
三． 数学软件介绍：
在当今30多个数学类（为区别于文字处理和作图类而加的修饰词）科技应用软件中，就
软件数学处理的原始内核而言，可分为两大类。一类是数值计算（Number Crunching）
）型软件，如Matlab， Xmath，MLAB等。这类软件对大批数据具有较强的管理、计算和
可视化能力，运行效率高。另一类是数学分析（Math Analysis）型软件，如Mathemati
ca、Maple，Macsyma等。它们以符号计算见长，并可得到解析符号解和任意精度解，但
处理大量量数据时运行效率较低。经过多年的国际竞争，MATLAB已经占据了数值型软件
市场的主导地位，处于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica，Macsyma位居符号软件的
前三名（见IEEE Spectrum）。 在国际流行的科技应用软件中，Mathcad 别具特色。该
软件的开发商Mathsoft公司一开始就把面向教学和办公作为Mathcad的市场目标。在对待
数值计算、符号分析、文字处理、图形能力的开发商，不以专业水准为追求，而尽力集
各种功能于一体。MathWorks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数值计算和图视能力
的基础商，又率先在专业水平上开拓其符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控
制能力，精心营造适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB。
对电子系同学最常用的软件而且基本上唯一使用的数学软件就是matlab了。Matlab 5.3
版本（最新版本6.0版）完全安装，包括帮助、以及各种工具箱一共竟需要1G多硬盘空间
。当然，这一个G的容量并不是被各种垃圾文件所充斥，相反的，它是由无数在Matlab系
统上运行的函数文件所占据。由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。1984年，计算
数学家Steve Bangert、Steve Kleiman、John Little、Cleve Morer在原来 FORTRAN程
序的基础上开发了一个解决线性系统计算问题的C语言程序，他们给它起了个响亮的名字
Matlab(Matrix Laboratory)。从此以后，Matlab系统便一发而不可收拾，成千上万的软
件工程师、计算科学家、和各种应用领域的科技工作人员加入了Matlab的开发者的行列
。他们把各自科研、应用领域中的常用算法用Matlab系统提供的编程语言做成程序集，
于是就产生了Matlab的特色之一："工具箱系统"(Toolbox)。在Matlab5.3 中大约有几十
个工具箱，其中包括通信，信号系统分析、离散信号分析、优化、偏微分方程、小波变
换、地图、财经、电力系统、神经网络，数值计算等等。工具箱中每一个函数都是采用
了该领域中最先进的高效算法，无数这样的函数文本文件组成了Matlab这个巨无霸，由
此可见，Matlab对于解决工程问题是极其具有优越性的。是我们电子系学生的最爱。上
面介绍了Matlab的主要特色之一：工具箱。下面来谈谈它的另一个特色，就是与其他语
言和编译器之间的接口。这个问题一直是关于Matlab的最热门的话题。原因很简单，1.
Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平台上才能运行，这样限制
了这些程序的使用范围，即如果想应用这些程序，你首先必需在你的计算机上安装一个
多达几百兆的Matlab，给使用带来了不便。另外，由于Matlab采用的是逐行解释的方式
来执行代码，因此运行速度比编译为exe 的二进制文件要慢，因此，利用编译器，把m文
件变为二进制的exe或dll文件，会大大缩短计算时间. 尽管Matlab是一个完善的系统，
但毕竟术业有专攻，各种语言的可视化编程环境(如VC，C++Builder，Delphi等)在用户
界面设计和其他系统功能方面具有Matlab不能比拟的快捷和高效，因此，如何把Matlab
强大的数值计算功能与可视编程集成环境IDE结合起来，开发用户操作方便、计算功能完
备、运行快捷的应用程序便成为程序开发者的最大愿望。Matlab中包含了大量的矩阵运
算、数值运算函数、图形操作函数、用户图形界面函数等等，用他可以象C语言一样书写
函数流程，而且开发WIN图形界面的用户程序。Matlab强大的功能、方便的操作给它赢得
了世界上最流行的数学软件的桂冠。难怪在网上大家奔走相告"出国前一定要把Matlab学
好"。
四． 其他数学软件简介（也算开开眼界尽管基本上不用（除了第一个外））：
1． Matcom：Matcom是MathTools开发的一个m文件解释器（即将Matlab中的编程语
言解
释为C语言），不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产
生C源代码，供其他高级语言编译器使用。Matcom所实现的在C语言中直接书写类似于ma
tlab语句的功能，带来了以下几个明显的优点：一，是利用Matcom编制的程序可以在任
何不安装 Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍；三是实现了Ma
tlab强大的计算功能与各种C编译器界面设计 的完美组合。我现在最喜欢用的就是在vc
上作界面来方便用户操作，用Matcom库实现算法计算，这样相得益彰，用这种方法编成
的程序，操作方便简洁，计算图形功能强大，速度快。
2． Mathmatica：最令人着迷的是它的完美的符号运算功能。所谓符号运算是指它
所处
理的对象不仅仅是常见的数字（如12或3.14），而是一些带有代数符号的表达式，我们
在代数中曾经学过运用代数的运算规则，对一个含有符号的表达式进行恒等变换，一个
函数就是一种规则或者说映射，比如定义如下一个规则，我们就可以运用这法则将下式
变换。而Mathematica正是具有这种类似人类思维的功能，它能不断学会并记忆各种变化
规则，并把这些各式各样的变化应用到各种表达式上，无论形式多么复杂，总能得到我
们想得到的带有代数符号的结果。而在C语言或其他编程语言中，对于一个符号，必须先
声明，然后赋值才能使用。因此它所表达的含意是有限的，而Mathematica完全抛开了这
种限制，一个符号可以表示任意对象，没有类型限制，真正实现了"代数"中的"代"字。
Mathematica象一个不知疲倦的公式推导家，它能在一秒钟之内将一个复杂的函数关系复
合上万次，它能在各种复杂表达式形式中找到最简单的。Mathematica对于大一、大二的
同学可能是一个福音，对于大家在高等数学、线性代数中常碰到的对表达式求极限、微
分、定积分、不定积分、级数、向量代数等内容在Mathematica都有内部函数来直接计算
结果。当然，希望大家还是自己动手练一练公式推导的基本功，把Mathematica当作一个
检验工具是无可厚非。Mathematica4.0中， 系统函数涵盖了微积分、线性代数、概率、
几何、图论、组合数学、数论数学、特殊函数等绝大多数常用数学分支。
3． Mathcad 8.0，Maple 5： 著名的符号运算数学软件，与Mathematica 类似，内
存管
理较好，SAS 6.12 统计学专业软件，压缩文件100多M（最权威的统计软件）。
4． 其他：SPSS 8.0 社会科学统计软件包；Lindo/Lingo 50线性、非线性规划软件
；A
nsys 5.4 权威的有限元法（FEM）计算软件，安装文件约200~300M ；Algo 有限元法软
件包；Statistics 统计软件 ；Datafit 数值拟合专业软件 ；Origin 6.0 微软的数据
分析绘图软件，可以与Excel数据库通讯；Netlib 网络并行计算库 ；Isoft 电磁仿真软
件 ；Auto 非线性动力系统计算软件 ；Flexpde 2.10 求解偏微分方程的数值软件；Te
cplot 8.0流速与值线流体力学 ；RATS 数值分析软件。
一、是数学建模竞赛
数学建模竞赛就是这样。它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数
学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的
计算机竞赛，它涉及物理，化学，生物，电子，农业，管理等各学科，各领域的知识，
但也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。它涉及各学科，各领域，但又不受任何一个具
体的学科，领域的局限。它要用到各方面的综合的知识，但还不限此。选手们不只是要
有各方面的知识，还要有驾域这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无
止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竞赛，即要比赛各方面
的综合知识，也比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。在这
个意义上看，它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点
也就是不纯，综合就是不纯。纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国
大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。特别是近若干年来我
国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名
度，在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知
识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷，计算能力的强弱等。试题都
是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独
立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机(器) 。考
题都有标准答案。当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与
否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果，对每个选手的
答案给出分数，按分数高低来判定优劣。 尽管也要对参赛的团体(代表一个国家，地区
或学校)计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比
赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛
而不相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜主要靠
每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。
这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对于培养数学家和数
学专门人才，起了很大的作用。
随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于
自然科学各个领域，各学科，而且渗透到经济，军事，管理以至于社会科学和社会活动
的各个领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要在各部门中从事实际工作的人善于
运用数学知识及数学大思维放法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益
和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就象在学校里做数学应用题)
，而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别
的学科，领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实
际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用
现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂
在一起的问题，不是"干净的"数学，而是"脏"的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里
等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的问题进行分析
，发现其中的可用数学语来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这
就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并
不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的
。既然是仿造，就不是真的，只能是"假冒"，但不能是"伪劣"，必须真实地反映所模仿
的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起像飞机
就行了，可以摆在展览馆供人参观，照相，但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理，就
得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞
机有相同之处。但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机，可见
，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言(可能
包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系，空间形式等。这种模仿当然是近似
的，但又要尽可能的逼真。实际问题中的许多因素，在建立数学模型时你不可能，也没
有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次
要因素，数学模型建立起来后，实际问题化成数学问题，就可以用数学工具，数学方法
去解答。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们(也
包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发
展。例如，开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模
型)，牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它，但当时的数学工具是不够用的，这使了
微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行
大量计算。这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学
理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而计算
机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真
正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法
或数据方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢?不是。既然数学模型只能近似地反映实
际问题中的关系和规律，到底反应的好不好，还需要接受检验。如果数学模型建立的不
好，如果没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得
出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察，看它是否合理，是否可行。如果不
符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行
，才算是得到一个解答，可以先付诸实施，但是，十全十美的答案是没有的，已得到的
答案一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进;或者暂停告一段
落，待将来有新的情况和要求后再作该进。
上面所说的建立数学模型来解决问题的过程，是各行各业各个领域大量需要的，也是我
们的学生在走上工作单位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知
识和解数学题的能力，而需要多方面的综合能力。社会对具备这种能力的人的需求，比
对数学专门人才的需求要多的多。因此，在学校里就应当努力陪养和提高学生在这方面
的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触
实际工作，得到锻炼，获得知识及其他各方面的能力)去参与解决问题的全过程。这些实
际问题并不限于某一方面，可以涉及非常广泛的，并不固定的范围。这样来促进应用人
才的培养。
二、数学模型的基础
1． 数学模型的定义
现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同: 的角度可以有不同的定义
。不过我们可以给出如下定义。: "数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作
的一个抽象的、简化的结构。" : 具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数
学及其它:数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特
征及其内在联系的数学结构表达式。
2．建立数学模型的方法和步骤
第一、 模型准备 (问题的提出与分析)
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特
征。
第二、 模型假设与符号说明
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设
，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法
欠佳的行为，: 所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次
，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、 模型的建立与求解
通过对问题的分析和模型假设后建立数学模型（模型运用数学符号和数学语言来描述）
，并过设计算法、运用计算机实现等途径（根据模型的特征和要求确定）求解模型！此
过程是整：个数模过程的最重要部分，需慎重对待！
第四、 型的检验
即通过问题所提供的数据或相对于实际生活中的情况对模型的合理性、准确性等进行判
别模型的优劣！可通过计算机模拟等手段来完成！
第五、 模型的完善与推广
此步骤可根据建模时具体情况而定！
关于建模的步骤并不一定必须按照以上几步进行，有兴趣的同仁可参考建模的相关书籍
。
三、数学建模参考资料：
1、《数学模型基础》 王树禾 中国科学技术大学出版社 1996
2、《数学模型》 谭永基，俞文 复旦大学出版社 1997
3、《数学建模竞赛教程》 李尚志 江苏教育出版社 1996
这些书均可在图书馆借到或在九章书店买到。其他方面的书也很多，有足够时间可以去
翻翻。全国大学生数学建模竞赛的有关信息，可在Internet上中国工业与应用数学学业
会 （CSIAM）的主页内浏览，网址为：。数学建模比赛每年
的9月下旬举行，每年6月份报名，三人组成一个参赛队。欲参加比赛的同学应该到数学
系旁听数学模型课或者选修公共选修课"数学模型"。
《吉米多维奇数学分析习题集》
本书只适合超级大牛同学做。图书馆有借和海淀图书城的九章数学书店有售。
《数学分析中的典型问题与方法》
裴礼文著，高教出版社。本书可谓宝典级的圣书。适合一般牛的同学。图书馆不多，九
章书店有售。
《大学生数学竞赛试题解析选编》
第二版，李心灿等编，高教出版社。凡是科协课外小组的同学要求人手一本。里面收集
了北京市大学生数学竞赛的历年真题，比较好，对于水平中等及中等以上的同学均有意
义。九章数学书店有售。
《高等数学复习题解与指导》
陈文灯著，上下两本，北京理工大学出版社：该书讲解十分详尽，对于各类水平的同学
均有很大的帮助。呕血推荐！！！九章书店有售。
《数学复习指南》
理工类，陈文灯等著。该书高数内容与上本书基本一致。但该书还有线性代数，概率论
等部分，非常全面。图书馆有借。各大书店均有售。适合所有水平的同学。
《高等数学解题过程的分析和研究》
钱昌本著。该书主要介绍高等数学的思维方法。例题很有启发性。图书馆有借。九章书
店有售。
从常微分方程开始，数学课就变成没底的东西，每一个标题做下去都是数学研究里面庞
大的一块。对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断。下面开始说参考书，毫无
疑问，我们还是得从我们强大的北方邻国说起。
《常微分方程讲义》
彼得罗夫斯基。在20世纪数学史上，这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位
。从学术上说，他在偏微那一块有非常好的工作，五十年代谷先生去苏联读学位的时候
还参加过他主持的讨论班。他从三十年代末开始就转向行政工作。在他早年的学生里面
有许多后来苏联的高官，所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个
保护伞，他这本书在相当长的时期里是标准教材。
《常微分方程》
庞特里亚金。庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明，在母亲的鼓励和帮助
下，他以惊人的毅力走上了数学道路，别的不说，光看看他给后人留下的"连续群"，"最
佳过程的数学理论"，你就不得不对他佩服得五体投地，有六体也投 下来了。他的这本
课本就是李迅经先生他们翻译的。此书影响过很多我们的老师辈的人物。
数学建模
鸭子过河
设河边点O的正对岸为点A，河宽OA=h（图1.1），水流速度为a，有一鸭子从点A游向点O，设鸭子（在静水中）的游速为b（ba），且鸭子游动的方向始终朝着点O。①设h=10m，a=1m/s，b=2m/s，用数值法求渡河所需时间、任意时刻鸭子的位置及游动曲线。②建立任意时刻鸭子的位置和鸭子游动的数学模型，并求其解析解。
1.模型的假设
为了使问题确定和简化，实际上已经作了如下假设：
①假设河宽固定，设为h，且两岸为平行直线；
②鸭子游速为b及水流速度a均为常数；
③鸭子游动的方向始终指向O。
2.模型的建立和求解
取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸，如图1.1所示。
设时刻t鸭子位于点P（x，y），设起点坐标（x，y）=（0，h），终点坐标（0，0），设θ为鸭子速度方向与x轴正向间的夹角，
，
， 于是鸭子游动的迹线满足：
x(0)=0，y(0)=h
（1）模型的数值解
实际上，从上述方程不能求得x(t)，y(t)的解析式，但在参数确定的情况下，可以通过数值解得到任意时刻鸭子的位置。设x=(x(1)，x(2))T，x(1)=x，x(2)=y，编写如下的函数M文件：
%鸭子过河、渡河
function dx=duhe(t,x) %建立名为duhe的函数M文件
a=1;b=2;
s=sqrt(x(1)^2+x(2)^2);
dx=[a-b*x(1)/s;-b*x(2)/s];%以向量形式表示方程组
在编写运行程序时，须设定时间t的起点及终点步长，可大致估计静水中的渡河时间，并作试探。（可见，鸭子的渡河时间在6.5~7s之间）
ts=0:0.5:7;
x0=[0,10]; %x、y的初始值
[t,x]=ode45(@duhe,ts,x0); %调用ode45计算
[t,x] %输出t，x(t)，y(t)
plot(t,x),grid %按照数值输出作x(t)，y(t)的图形
gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause %利用鼠标确定字符串位置
plot(x(:,1),x(:,2)),grid, %作y(t)的图形
gtext('x'),gtext('y')
得到的数值结果x(t)，y(t)为鸭子的位置列入表1.1。x(t)，y(t)及y(x)的图形见图1.2(a)和1.2(b)。
表1.1 h=10，a=1，b=2时的数值解
t x(t) y(t) t x(t) y(t)
0.0000 0.0000 10.0000 4.0000 1.8663 2.4336
0.5000 0.4741 9.0004 4.5000 1.7062 1.6834
1.0000 0.8929 8.0039 5.0000 1.4436 1.0381
1.5000 1.2503 7.0143 5.5000 1.0860 0.5257
2.0000 1.5396 6.0370 6.0000 0.6507 0.1759
2.5000 1.7535 5.0791 6.5000 0.1660 0.0111
3.0000 1.8843 4.1501 7.0000 0.0000 0.0000
3.5000 1.9242 3.2628
图1.2(a) 和 图1.2(b)
（2）模型的解析解
为了得到更精确的运动轨迹，还必须对模型作进一步分析以得到其解析解。鸭子运动速度为：
故有：
由此得到微分方程：
，x(h)=0
求解此齐次微分方程得到鸭子游动的轨迹方程为：
，0≤y≤h（具体求解参见附录（1））
采用下列Matlab程序，我们可以画出鸭子运动的轨迹（图1.3）。
h=10;a=1;b=2;y=h:-0.5:0;x=h/2*((y./h).^(1-a/b)-(y./h).^(1+a/b));
plot(x,y,'bO-')
legend('duck')
xlabel('X');ylabel('Y');
图1.3 鸭子运动的轨迹
鸭子游动曲线轨迹的弧长可以用公式 求出，也可以用数值方法求解。
3.对解以及问题的进一步讨论
①关于解可以作进一步分析：如果b＜a，由上述轨迹方程当y→0，得到x→∞。因此，这中情况下鸭子是不可能到达对岸的，这与鸭子运动的力学分析结果是一致的。
syms y;limit(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/10)^(1+2))),y,0,'left')
syms y;limit(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/10)^(1+2))),y,0,'right')
结果分别为-Inf和Inf。
②很自然地，还可以探讨如下问题：如果鸭子上岸的地点不超过和对岸下游一定位置（比如与正对岸距离为l），鸭子的速度大小与方向不变，问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达上岸地点？鸭子能够按要求到达对岸速度应满足什么条件？如果水流速度变化，进一步可研究2003年全国数学建模竞赛D题：强渡长江。
4.建模过程总结
这是一个微分方程应用题，整个解题过程已经包含了建立数学模型的基本内容，即
①根据问题背景和建模问题作出必要的简化假设——鸭子速度和水流速度均为常数；
②用字母和符号表示有关变量（如鸭子速度、水流速度、时间及位置坐标等）；
③利用相应的物理（或其他）规律——牛顿力学有关规律，列出微分方程；
④求解微分方程得到鸭子游动轨迹曲线解析解，此处我们还采用了数值解法得到了任意时刻鸭子的位置（坐标）；
⑤解的讨论及推广应用等。
参考文献
[1] 李志林，欧宜贵，数学建模及典型案例分析，北京：化学工业出版社，2006.12
[2] 同济大学应用数学系，高等数学（本科少学时类型）上册（第二版），北京：高等教育出版社，2001
附录：
（1）鸭子游动轨迹方程的求解
将得到的微分方程 化成齐次方程 的形式，得
（1-1）
令 ，则x=yu， ，代入上述方程，得
（1-2）
化简并分离变量得
（1-3）
两端积分，得
（其中C1为常数） （1-4）
即
（1-5）
将 代入上式，得
（1-6）
由x(h)=0将y=h，x=0代入上式，得 ，求得 。
将 代入式（1-5），得
（1-7）
将上式平方并化简，得
（1-8）
求得
（1-9）
将 代入上式，得
，0≤y≤h（1-10）
参考文献图书馆索取号及参考页码
[1] O141.4/L.Z.L Page2-4
[2] 齐次方程 Page339-344
另外还有一篇，我通过邮件发给你。
数学建模的思路是什么？
说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以是方程（组）、不等式、函数、几何图形等等。
在数学建模中常用思想和方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法。
模型准备
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
数学建模实际应用题求解！
数学建模论文范文－－利用数学建模解数学应用题
数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。
一、数学应用题的特点
我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：
第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。
第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。
第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
二、数学应用题如何建模
建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：
第一层次：直接建模。
根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为：
将题材设条件翻译
成数学表示形式
应用题 审题 题设条件代入数学模型 求解
选定可直接运用的
数学模型
第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。
第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。
第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。
三、建立数学模型应具备的能力
从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。
3．1提高分析、理解、阅读能力。
阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。
3．2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。
将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。
例如：一种产品原来的成本为a元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低p%，经过五年后的成本为多少?
将题中给出的文字翻译成符号语言，成本y=a(1-p%)5
3．3增强选择数学模型的能力。
选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择的数学模型列表：
函数建模类型 实际问题
一次函数 成本、利润、销售收入等
二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等
幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等
三角函数 测量、交流量、力学问题等
3．4加强数学运算能力。
数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。
利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。
加强高中数学建模教学培养学生的创新能力
摘要：通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的编写特点和高中研究性学习的开展，对如何加强高中数学建模教学，培养学生的创新能力方面进行探索。
关键词：创新能力；数学建模；研究性学习。
《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》对学生提出新的教学要求，要求学生：
（1）学会提出问题和明确探究方向；
（2）体验数学活动的过程；
（3）培养创新精神和应用能力。
其中，创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点之一，数学学习不仅要在数学基础知识，基本技能和思维能力，运算能力，空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。
一．要重视各章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义。
教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。
如新教材“三角函数”章前提出：有一块以O点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿册，使其册边AD落在半圆的直径上，另两点BC落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形面积最大？
这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。
这样通过章前问题教学，学生明白了数学就是学习，研究和应用数学模型，同时培养学生追求新方法的意识及参与实践的意识。因此，要重视章前问题的教学，还可据市场经济的建设与发展的需要及学生实践活动中发现的问题，补充一些实例，强化这方面的教学，使学生在日常生活及学习中重视数学，培养学生数学建模意识。
2．通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。
学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程：
现实原型问题
数学模型
数学抽象
简化原则
演算推理
现实原型问题的解
数学模型的解
反映性原则
返回解释
列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。如利息（复利）的数列模型、利润计算的方程模型决策问题的函数模型以及不等式模型等。
3．结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性式与活泼性。
高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力，如“数列”章中的“分期付款问题”、“平面向是‘章中’向量在物理中的应用”等，同时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。设计了如下研究性问题。
例1根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2000年的人口数。
时间(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
人中数(百万) 39 50 63 76 92 106 123 132 145
分析：这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；（3）人口数量化是连续的。基于上述假设，我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。
通过上题的研究，既复习巩固了函数知识更培养了学生的数学建模能力和实践能力及创新意识。在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力，如记住一些常用及常见的数据，如：人行车、自行车的速度，自己的身高、体重等。利用学校条件，组织学生到操场进行实习活动，活动一结束，就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。如：推铅球的角度与距离关系；全班同学手拉手围成矩形圈，怎样围使围成的面积最大等，用砖块搭成多米诺牌骨等。
四、培养学生的其他能力，完善数学建模思想。
由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想：
（1）理解实际问题的能力；
（2）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；
（3）抽象分析问题的能力；
（4）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力；
（5）运用数学知识的能力；
（6）通过实际加以检验的能力。
只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简，如下例就要用到各种能力，才能顺利解出。
例2：解方程组
x+y+z=1 (1)
x2+y2+z2=1/3 (2)
x3+y3+z3=1/9 (3)
分析：本题若用常规解法求相当繁难，仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型解之。
方程模型：方程（1）表示三根之和由（1）（2）不难得到两两之积的和（XY+YZ+ZX）=1/3，再由（3）又可将三根之积（XYZ=1/27），由韦达定理，可构造一个一元三次方程模型。（4）x,y,z 恰好是其三个根
t3-t2+1/3t-1/27=0 (4)
函数模型：
由（1）（2）知若以xz(x+y+z)为一次项系数，（x2+y2+z2）为常数项，则以3＝（12＋12＋12）为二次项系数的二次函f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2，从而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也适合（3）
平面解析模型
方程（1）（2）有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O)到直线x+y的距离不大于半径。
总之，只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题，根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。
数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。
一、数学应用题的特点
我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：
第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。
第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。
第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
二、数学应用题如何建模
建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：
第一层次：直接建模。
根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为：
将题材设条件翻译
成数学表示形式
应用题 审题 题设条件代入数学模型 求解
选定可直接运用的
数学模型
第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。
第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。
第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。
三、建立数学模型应具备的能力
从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。
3．1提高分析、理解、阅读能力。
阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如1999年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。
3．2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。
将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。
例如：一种产品原来的成本为a元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低p%，经过五年后的成本为多少?
将题中给出的文字翻译成符号语言，成本y=a(1-p%)5
3．3增强选择数学模型的能力。
选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择的数学模型列表：
函数建模类型 实际问题
一次函数 成本、利润、销售收入等
二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等
幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等
三角函数 测量、交流量、力学问题等
3．4加强数学运算能力。
数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。
利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。
你的串号我已经记下，采纳后我会帮你制作
