证明不等式的最基本的方法(12页珍藏版)：解法二

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1.除了求解方法1中经常用到的重要不等式外，求解方法2的方法也很典型，即如果参数a满足不等式关系，af(x)，那么amin=f(x)最大限度; 如果 af(x)，则 amax=f(x)min，利用这个基本事实，可以很容易地解决这种不等式中包含的参数的范围问题。三角替换法还有一个适当的优点是找到最大值不等式证明 变形技巧，可以用来解决原来的问题。转换。解法一：由于a的值为正，将已知不等式两边平方得到：x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y),x,y0,x+ y2，当且仅当 x=y 时，存在等号。比较一下，a的最小值满足a21=1，a2=2，a=（由于a0），a的最小值就是。解决方案 2：设置 .x0, y0,

2、可以知道u的最大值是，由已知的au和a的最小值是。解3：y0不等式证明 变形技巧，原来的不等式可以转化为+1a，设=tan,(0,).tan+1a；即tan++cos=sin(+)，sin(+)的最大值为1（此时=）。从公式可以看出，a的最小值为。1、不等式证明常用的方法有：比较法、综合法 （1）法证不等式的比较分为差（商）、变形、判断三个步骤。变形的主要方向是因式分解，公式，判断过程一定要详细描述；如果差分后的公式可以整理成关于某个变量的二次公式，可以考虑使用判别法。两种方法相互转化，相互渗透，

3.辩证关系可以增加解决问题的思路，开阔视野。2. 不等式证明也有一些常用的方法：代入法、标度法、矛盾证明法、函数单调性法、判别法、数形组合法等。代入法主要包括三角代入和均值代入。应用代入法时，应注意代入的等价性。可扩展性是不等式证明中最重要的变形方法之一。有针对性，可以从要证明的结论中检验目标。对于一些不等式，如果正面证明难以解释清楚，可以考虑反证法。任何包含“至少”、“仅”的命题 或含有其他否定词，以反证法为宜。证明不等式时，要根据题型设计、题型特点和内在关系选择合适的证明方法，熟悉各种证明方法中的推理思维，掌握相应的步骤、技巧和语言特点。() 已知x、y为正变量，a、b为正数 技能和语言特点。() 已知x、y为正变量，a、b为正数 技能和语言特点。() 已知x、y为正变量，a、b为正数

4，且=1，x+y的最小值为_。2. () 让正数a, b, c, d满足a+d=b+c, 和|ad|bc|, 那么ad和bc的大小关系就是_.3.() 如果mn, pq, and (pm) (pn) 0, (qm) (qn) 0，则m、n、p、q的大小顺序为_。二、回答第4题。 () 已知a、b、c为正实数，a+b+c=1。证明： (1) a2+b2+c2 (2) 65. () 已知x, y, zR, and x +y+z=1, x2+y2+z2=, 证明：x, y, z0, 6。 () 证明以下不等式： (1) 如果 x, y, zR, a, b, cR+, 那么 z22 (xy +yz+zx) (2) 如果 x, y, zR+, and x+y+z=xyz , 那么 2() 7.() 知道 i, m, n 是正整数，而 1imn.(1) 证明

5.:; (2) 证明：(1+m)n(1+n)m8。() 若a0,b0,a3+b3=2，证明：a+b2,ab1。参考答案难度磁场证明方法一：（解析合成法）证明原公式，即4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即4(ab)233( ab)+80，即ab或ab8.a0,b0,a+b=1,ab8不能成立1=a+b2,ab，从而得到证明。方法二：（均值代入法）设 a=+t1, b=+t2.a+b=1 , a0, b0, t1+t2=0, |t1|, |t2| 显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立。证明3：（比较法）a+b=1,a0,b0,a+b2,ab 方法4：（综合法）a+b=1,a0,b0,a+b2,ab

6. 演示方法5：（三角形代入法）a0, b0, a+b=1, 所以设a=sin2, b=cos2, (0,)2 歼灭难度训练1. 1. 分析：设=cos2, =sin2，则 x=asec2，y=bcsc2，x+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2++b+2。答案：a+b+22。解析：按 0|ad|bc| (ad) 2 (bc) 2 (a+b) 24ad (b+c) 24bc a+d=b+c，所以 adbc。答案：adbc3。分析：把p和q当作变量，然后mpn，mqn。答案：mpqn II, 4. (1)证明I：a2+b2+c2= (3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2 (a+b+c)2=3a2+3b

7. 2+=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2 证明二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+ c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2 证明方法三：a2+b2+c2a2+b2+c2 证明方法4：设a=+, b=+, c=+.a+b+c=1, +=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+ ) +2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2 原不等式成立。证明2： 6原不等式成立。5、证明1：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得到x2+y2+(1xy)2=，整理成约

8.得到y的二次方程：2y22(1x)y+2x22x+=0,yR，所以同理可以得到04(1x)242(2x22x+)0,0x,x0,y,z0，证明二: 设x=+x, y=+y, z=+z, 那么x+y+z=0, 所以=(+x)2+(+y)2+(+z)2=+x2+y2+ z2+(x+y+z)=+x2+y2+z2+x2+=+x2，所以x2，x，x0，同理y，z0，证明3：若x、y的三个数中存在负数，和z，不妨设x0，然后x20，=x2+y2+z2x2+，矛盾。如果x、y、z这三个数中最大的一个大于，不妨设x，则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x(x)+；矛盾。所以x,y,z0，上式显然成立，证明原不等式。7.证明：（1）对

9. 在1im中，A=m(mi+1)，由于mn，对于整数k=1,2,i1，有，所以(2)由二项式定理得到：(1+m)n= 1+ Cm+Cm2+Cmn, (1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm, 从(1) (1im, and C=(=n0C=1, mC=nC=mn, ,, mm+1C0 , mnC0, 1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm, 即(1+m)n(1+n)m成立 8. 证明1: 因为a0, b0, a3+b3=2,所以 (a+b)323=a3+b3+3a2b+3ab28=3a2b+3ab26=3ab(a+b)2=3ab(a+b)(a3+b3)=3(

10. a+b) (ab) 20. 也就是(a+b) 323，而a+b0，所以a+b2，因为2a+b2，所以ab1。证明2：设a，b为方程x2mx+n=0，那么，因为a0，b0，所以m0，n0，并且=m24n0，因为2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=( a+b)(a+b)23ab =m(m23n) 所以 n= 将被代入 m24()0，即 0，所以 m3+80，即 m2，所以 a+b2，从 2m 得到 4m2，和m24n，所以 44n，也就是 n1，所以 ab1。方法3：因为a0,b0,a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(2abab)=ab(a+b) 所以有63ab ( a+b), 所以 83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3= (a+b)3, 所以 a+b2, (以下简写) 证明 4: 因为 0, 对于任何非- 负实数a，b，因为a0，b0，a3+b3=2，所以1=，1，即a+b2，（以下简称） 证明5：假设a+b2，则a3+b3=( a+ b) (a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab(a+b)ab2ab，所以ab1，a3+b3=(a+b)a2ab+b2=(a+b)( a +b) 23ab2 (223ab) 因为 a3+b3=2，所以 22 (43ab)，所以 ab1，不一致，