【高考复习专题】高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法

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1.高中数学复习题目不等式题目高中数学复习题目不等式题目高中数学复习题目讲座不等式证明的常用方法内容，纯不等式的证明一直是高中数学的难点。本部分重点培养考生的数学变形能力、逻辑思维能力和分析解决问题的能力。难点总结 1.不等式证明常用的方法有比较法。、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本方法 （1）比较法证不等式分为差（商）、变形、判断三个步骤。变形的主要方向是因式分解、公式和判断过程。

2、因缘由果，分析法是把握果而引至因。两种方法相互转化，相互渗透，互为前提。充分利用这种辩证关系，可以增加解决问题的思路，开阔视野。2 不等式证明也是一些常用的方法不等式证明 变形技巧，如代换法、标度法、证据证明法、函数单调法、判别法、数形组合法等，主要包括三角代换和意思是替代。在应用代入法时，需要注意的是，代入等价是不等式证明中最重要的变形方法之一。缩放必须有针对性。目标可以是从要证明的结论中检查一些不等式。如果从前面的证明难以解释，可以考虑对于任何包含“至少”、“仅”或其他否定词的命题，在适合使用反证法证明不等式时，应根据命题、题目的特点和内在联系选择合适的证明方法，熟悉各种证明方法。推理思考，掌握相应的步骤、技巧 在适合用反证法证明不等式时，应根据命题、题目的特点和内在关系，选择合适的证明方法，熟悉各种证明方法。推理思考，掌握相应的步骤、技巧 在适合用反证法证明不等式时，应根据命题、题目的特点和内在关系，选择合适的证明方法，熟悉各种证明方法。推理思考，掌握相应的步骤、技巧

三、巧合语言特点、典型问题、例题、示范、解释、例题 1、不等式证明（nN*）命题意图 是一个与自然数n有关的命题。首先，我想应用数学归纳法。此外，它还涉及不等式证明中的缩放方法、构造方法和其他错误解决方案。分析这个问题容易出现以下缩放错误，只关注形式的统一而忽略了它。大小关系的误差也是一个经常出现的技巧和方法。本题1的证明方法采用数学归纳法从n=k过渡到n=k+1。使用缩放取证方法。目标是利用函数思想证明第三种方法，在单调性的帮助下，

4. 成立 (2) 假设n=k(k1)，不等式成立，即1+2。当 n=k+1 时，不等式成立。当 (1) 和 (2) 正确地为 nN* 时，有 1+ 2 从 k 到 k+1 的另一个证明是以下证明： 对于任何 kN*，两者都有证明。三：设 f(n)= 那么对于任意 kN*，有 f(k+1)f(k) 因此，对于任意 nN*，f(n)f(n1)f(1)=10。示例 2 找出使 (x0, y0) 保持不变的 a 的最小值。本题的目的是考察不等式证明，找到最大价值函数的思想，学生的逻辑分析能力的知识依赖于该题在给定的条件下寻找最大价值。a的最大值包含在常数成立的不等式中，因此有必要利用不等式的相关性质来表示a。,

5. 思考和重要的不等式等找出最有价值的错误解 分析这个问题的解 3 用三角置换法确定a的取值范围。这时候我们习惯了把x,y和cos,sin对应地改变，也就是let = cos,=sin(0)，这个也有asin+cos，但是这种交换错误的原因在于（1）x和y的范围缩小了（2）这个交换相当于在这个问题上加了“x”，y=1”，这显然是一种错误的技术和方法。除了解决经常用到的重要不等式在方法一中，求解方法二的方法也很典型，即如果参数a满足不等式关系，af(x)，那么amin=f(x)max 如果af(x)，那么amax=f (x)min，利用这个基本事实，

6.将原问题转化为解——由于a的值为正，将已知不等式两边平方得到x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y ), x, y0 , x+y2, 当且仅当 x=y, 有等号建立比较, 且 a 的最小值满足 a21=1, a2=2, a= (由于 a0) , a 的最小值就是解。x0, y0, x+y2（当x=y时，“=”成立），最大值为1，即为1。因此，u的最大值为1，由已知，au的最小值和a为解3 y0不等式证明 变形技巧，原不等式可转化为+1a，设=tan,(0,)tan+1a即tan++cos=sin(+)，sin(+)的最大值为1（此时=）从公式中可以看出a的最小值是3个已知a0、b0、a+b的例子

7. =1 证明(a+)(b+) 证明方法1（解析综合法） 证明原公式，即证明4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证明4 (ab)233(ab)+80，即证明ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不能成立1=a+b2，ab，故证明方法2（均值代换法) 设置为 a=+t1, b=+t2 a+b=1, a0, b0, t1+t2=0, |t1|, |t2| 显然当且仅当t=0，即a=b=，等号成立。比较法）a+b=1,a0,b0,a+b2,ab方法四（综合法）a+b=1,a0,b0,a+b2,ab方法五（三角代换法）a0,b0, a+b=1，所以让a=sin2, b=cos2, (0,)2个同学巩固

8.习题1 已知x,y为正变量，a,b为正数，且=1，x+y的最小值为_2 令正数a,b,c,d满足a+d =b+c , and |ad|bc|, 那么ad和bc的大小关系是_ 3 如果mn, pq, and (pm)(pn)0, (qm)(qn)0, 那么m的大小, n, p, q 顺序为 _ 4 已知 a, b, c 为正实数, a+b+c=1 证明 (1)a2+b2+c2 (2)65 已知 x, y, zR, 和x+y+z= 1, x2+y2+z2=, 证明 x, y, z0, 6 证明以下不等式 (1) 如果 x, y, zR, a, b, cR+, 那么 z22(xy+yz+ zx)(2) 如果 x , y, zR+, and x+y+z=xyz, 那么 2()7 给定 i, m, n 是正整数，并且 1imn

9. (1) 证明 (2) 证明 (1+m)n(1+n)m8 如果a0, b0, a3+b3=2, 证明a+b2, ab1 参考答案1 解析顺序 =cos2, =sin2 , 那么x=asec2, y=bcsc2, x+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2++b+2 答案a+b+22被0|ad|bc|解析 (ad)2(bc)2(a+b)24ad(b+c)24bc a+d=b+c,所以adbc答案 adbc3解析把p和q当作变量，然后mpn,mqn答案mpqn4(1 ) 证明一 a2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2(a+b+c)

10. 2=3a2+3b2+=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2 方法二 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+ b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2 方法三 a2+b2+c2a2+b2+c2 四证明集 a=+, b=+, c=+ a+b+c=1, +=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+) +2 +2+2=+2+2+2a2+b2+c2 原不等式成立 证明2 6 原不等式成立 5 证明1 由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+ y2+ (1xy)2

11,=,组织成一个变量关于y的二次方程得到2y22(1x)y+2x22x+=0,yR,所以04(1x)242(2x22x+)0,0x,x0,y,z0可得同理，第二个证明是x=+x，y=+y，z=+z，则x+y+z=0，所以=(+x)2+(+y)2+(+z )2=+x2 +y2+z2+ (x+y+z)=+x2+y2+z2+x2+=+x2, 所以 x2, x, x0, 类似 y, z0, 证明三假设如果三者中的任何一个数x、y、z有负数，不妨设x0，然后设x20，=x2+y2+z2x2+，如果x、y、z这三个矛盾数中最大的一个大于，你不妨设x，则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x(x )+矛盾，所以x,y,z0，上式显然成立，证明原不等式 7

12. 证明 (1) 对于 1im，并且 A = m(mi+1)，因为 mn，对于整数 k=1, 2, i1，有，所以 (2) 通过二项式有 (1+m)n定理=1+Cm+Cm2+Cmn, (1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm, 由(1) (1im, and C=(=n0C=1, mC=nC=mn,,,mm +1C0, mnC0, 1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm, 即(1+m)n(1+n)m 成立 8. 证明1 因为a0, b0, a3+b3=2,所以 (a+b)323=a3+b3+3a2b+3ab28=3a2b+3ab26=3ab(a+b)2=3ab(a+b)(a3+

13. b3)=3(a+b)(ab)20 即(a+b)323，而a+b0，所以a+b2，因为2a+b2，所以ab1 证明二设a，b为方程x2mx +n=0 的两个根，那么，因为 a0，b0，所以 m0，n0，和 =m24n0 因为 2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+ b )23ab=m(m23n) 所以 n= 将代入 m24()0，即 0，所以 m3+80，即 m2，所以 a+b2，从 2m 得到 4m2，m24n，所以 44n，即n1，所以ab1证明的三个原因是a0，b0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(2abab)=ab(a+ b)，所以有63ab(a+b)，所以83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b2，（以下简写）证明4为0，所以对于任意非负实数a和b，因为a0，b0，a3+b3=2，所以1=，1，也就是a+b2，（以下简称） 演示5 假设a+b2，则a3+b3=(a+b) (a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab(a+b)ab2ab，所以ab1，a3+b3=(a+b)a2ab+b2= (a+b)(a+b )23ab2(223ab) 因为 a3+b3=2，所以 22(43ab)，so ab1，不一致，so a+b2（以下简称）课前课后备注